Disequazioni elementari con seno e coseno

Le disequazioni goniometriche più semplici si leggono direttamente dalla circonferenza goniometrica, senza bisogno di alcun calcolo: basta individuare gli archi che corrispondono ai punti che soddisfano la condizione.

In sintesi — Disequazioni elementari

Si leggono direttamente dalla circonferenza goniometrica.

• $\sin x \ge k$ (con $|k|\le 1$): sono gli angoli corrispondenti ai punti della circonferenza sopra la retta orizzontale $y=k$. La soluzione, nell’intervallo $[0,2\pi)$, è un arco; va poi generalizzata aggiungendo $2k_1\pi$.
• $\cos x \ge k$ (con $|k|\le 1$): i punti a destra della retta verticale $x=k$.

Per una disequazione con il seno si traccia la retta orizzontale $y=k$: la condizione $\sin x \ge k$ è soddisfatta dai punti della circonferenza che stanno sopra quella retta.

La disequazione $\sin x \ge 1/2$, nell’intervallo $[0,2\pi)$, ha per soluzione l’arco verde sopra la retta $y=1/2$, cioè $x\in\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Per il coseno il ragionamento è del tutto analogo, ma con una retta verticale $x=k$: la condizione $\cos x \ge k$ vale per i punti a destra della retta, la condizione $\cos x \le k$ per i punti a sinistra.

Esempio

Risolvere $\cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ in $[0,2\pi)$.

I valori di $x$ per cui $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sono $\dfrac{3\pi}{4}$ e $\dfrac{5\pi}{4}$. La disequazione $\cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ richiede i punti della circonferenza goniometrica a sinistra della retta verticale $x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: è l’arco da $\dfrac{3\pi}{4}$ a $\dfrac{5\pi}{4}$ (escluse le estremità). $x\in\left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\ \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right)$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Disequazione goniometrica · Disequazione goniometrica lettura circonferenza
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Goniometriche disequazioni
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni