Formule di Werner: da prodotto a somma

Le formule di Werner trasformano un prodotto di seni e coseni in una somma (o differenza). Sono utili, per esempio, quando un prodotto va integrato o semplificato.

Proprietà — Formule di Werner: prodotto → somma

$\begin{aligned} \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr] \\ \sin\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\bigr] \\ \sin\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\bigr] \end{aligned}$

Dimostrazione

Per la prima, partiamo dalle formule di addizione del coseno: $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$ Sommando membro a membro si ottiene $\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$, da cui la prima formula. Sottraendo membro a membro si ricava la seconda. La terza si ottiene sommando le formule di $\sin(\alpha+\beta)$ e $\sin(\alpha-\beta)$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di addizione · Formule di werner
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare · Usare formule