Identità con arctan

Testo

Verifica l’identità notevole $\arctan x + \arctan(1/x) = \dfrac{\pi}{2}$ per $x>0$. (Suggerimento: chiama $\alpha = \arctan x$ e mostra che $\tan(\pi/2-\alpha) = 1/x$.)

Soluzione

Poniamo $\alpha = \arctan x$; poiché $x>0$, si ha $\alpha\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ e $\tan\alpha = x$. Usando l’arco complementare: $\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{x}.$ Dato che $\tfrac{\pi}{2}-\alpha\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$, applicando $\arctan$ (biunivoca su questo intervallo): $\tfrac{\pi}{2}-\alpha = \arctan\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \;\Rightarrow\; \arctan x + \arctan\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = \boxed{\tfrac{\pi}{2}}. \quad\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Arcotangente
Funzioni: Arcotangente · Funzioni goniometriche inverse
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione