La formula del cambio di base

Spesso serve passare da una base all’altra, per esempio per calcolare con la calcolatrice un logaritmo in base diversa da $10$ o da $e$.

Proprietà — Formula del cambio di base

Per ogni $a, b, x$ ammissibili: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$ Da cui in particolare si ricava $\log_a x = \dfrac{1}{\log_x a}$ (caso $b = x$): inversione della base.

Esempio — Calcolo di $\log_8 16$

Con cambio di base $b=2$: $\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{4}{3}.$

Osservazione — Versione "moltiplicata"

La stessa formula si può riscrivere come $\log_a x \cdot \log_b a = \log_b x$, cioè come un “prodotto che trasporta” il logaritmo da una base all’altra. Conviene saperla leggere in entrambe le direzioni.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
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