Trasformazione da circonferenza a ellisse

Testo

Trovare la trasformazione (composizione di traslazione e dilatazione) che porta la circonferenza $x^2+y^2=1$ nell’ellisse $\dfrac{(x+1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{16}=1$.

Soluzione

Riscriviamo l’ellisse mettendo in evidenza i quadrati: $\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y-2}{4}\right)^2 = 1.$ Partiamo dalla circonferenza unitaria $u^2 + v^2 = 1$. Applichiamo prima la dilatazione $(x;y)\mapsto(2x;\ 4y)$, che porta la circonferenza nell’ellisse centrata nell’origine $\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{16}=1$; poi la traslazione di vettore $(-1;2)$, cioè $(x;y)\mapsto(x-1;\ y+2)$.

Verifica: componendo, un punto $(u;v)$ della circonferenza va in $(2u-1;\ 4v+2)$. Posto $X = 2u-1$ e $Y = 4v+2$, si ha $u = \tfrac{X+1}{2}$ e $v = \tfrac{Y-2}{4}$, da cui $u^2+v^2=1$ dà proprio $\boxed{\frac{(X+1)^2}{4}+\frac{(Y-2)^2}{16}=1.}$

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Circonferenza · Composizione di trasformazioni · Dilatazione · Ellisse · Traslazione
Metodi: Trasformazioni isometrie · Trasformazioni omotetie
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico