Monotonia di x/(x²+1)

Testo

Dire se $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ è monotona e giustificare.

Soluzione

No, non è monotona su tutto $\mathbb{R}$. Basta esibire un tratto crescente e uno decrescente confrontando qualche valore: $f(0)=0, \qquad f(1)=\frac{1}{2}, \qquad f(2)=\frac{2}{5}=0{,}4, \qquad f(3)=\frac{3}{10}=0{,}3.$ Passando da $x=0$ a $x=1$ la funzione cresce ($0 \to \tfrac12$), ma passando da $x=1$ a $x=2$ la funzione decresce ($\tfrac12 \to 0{,}4$). Poiché in un tratto cresce e in un altro decresce, non è né crescente né decrescente su tutto il dominio: non è monotona. (Si può mostrare che è crescente su $[-1,1]$ e decrescente altrove, con massimo $f(1)=\tfrac12$ e minimo $f(-1)=-\tfrac12$.)

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Monotonia
Competenze: Dimostrare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione