Grafico e immagine di |x-1|-|x+1|

Testo

Tracciare qualitativamente il grafico di $f(x)=|x-1|-|x+1|$ e determinarne l’immagine.

Soluzione

Si tolgono i valori assoluti ragionando per casi sui punti critici $x=-1$ e $x=1$: $f(x)=\begin{cases} (1-x)-(-(x+1)) = 2 & x\le -1, \\ (1-x)-(x+1) = -2x & -1<x<1, \\ (x-1)-(x+1) = -2 & x\ge 1. \end{cases}$ Il grafico è: un tratto costante a quota $2$ per $x\le -1$, un segmento di pendenza $-2$ che scende da $(-1,2)$ a $(1,-2)$, e un tratto costante a quota $-2$ per $x\ge 1$. La funzione è continua.

I valori assunti vanno da $-2$ a $2$: immagine $=\boxed{[-2;\,2]}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione definita a tratti · Immagine · Valore assoluto
Funzioni: Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Tracciare grafico
Tipo di esercizio: Studio di funzione