Equazione canonica

Scegliendo un sistema di riferimento comodo, con i fuochi simmetrici rispetto all’origine sull’asse $x$, la condizione della definizione si traduce in un’equazione particolarmente semplice.

Proprietà — Equazione canonica

Se $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$ con $c>0$ e $2a>2c$, l’ellisse ha equazione canonica $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{con}\quad b^2 = a^2 - c^2.$ I vertici sull’asse $x$ sono $V_1(-a;0)$ e $V_2(a;0)$; i vertici sull’asse $y$ sono $W_1(0;-b)$ e $W_2(0;b)$. I due numeri $a$ e $b$ si chiamano semiassi: $a$ è il semiasse maggiore (se $a > b$), $b$ è il semiasse minore.

La relazione $b^2 = a^2 - c^2$ lega tra loro i tre parametri fondamentali dell’ellisse: il semiasse maggiore $a$, il semiasse minore $b$ e la semidistanza focale $c$. Nota che è del tutto analoga al teorema di Pitagora, con $a$ come ipotenusa: i punti $(c;0)$, $(0;b)$ e l’origine formano infatti un triangolo rettangolo di ipotenusa $a$.

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Equazione canonica · Fuochi · Semiassi · Vertici
Metodi: Ellisse canonica
Competenze: Geometria analitica · Usare formule