Asse radicale e intersezioni

Testo

Trovare l’asse radicale di $\gamma_1: x^2+y^2-2x=0$ e $\gamma_2: x^2+y^2-2y-3=0$ e i loro eventuali punti di intersezione.

Soluzione

Asse radicale: sottraiamo membro a membro $\gamma_1 - \gamma_2$: $(-2x) - (-2y - 3) = 0 \iff -2x + 2y + 3 = 0 \iff \boxed{2x - 2y - 3 = 0.}$ Ricaviamo $x = y + \tfrac{3}{2}$.

Sistema con $\gamma_1$: sostituiamo in $x^2 + y^2 - 2x = 0$: $\left(y + \tfrac{3}{2}\right)^2 + y^2 - 2\left(y + \tfrac{3}{2}\right) = 0 \iff 2y^2 + y - \tfrac{3}{4} = 0 \iff 8y^2 + 4y - 3 = 0.$ $\Delta = 16 + 96 = 112$, quindi $y = \dfrac{-4 \pm \sqrt{112}}{16} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}.$

Con $x = y + \tfrac{3}{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{4}$, i punti di intersezione sono $\boxed{\left(\tfrac{5+\sqrt{7}}{4};\ \tfrac{-1+\sqrt{7}}{4}\right) \ \text{e}\ \left(\tfrac{5-\sqrt{7}}{4};\ \tfrac{-1-\sqrt{7}}{4}\right).}$ Le due circonferenze si intersecano dunque in due punti distinti (coerentemente con $\Delta > 0$).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Intersezione circonferenze · Intersezione retta circonferenza
Metodi: Circonferenza intersezione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema geometrico