Tangenti con il metodo della distanza

Testo

Trovare le tangenti a $\gamma:\ x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$ passanti per $P(5;5)$ con il metodo della distanza.

Soluzione

Centro e raggio: $a=-4$, $b=-2$, $c=-4$, quindi $C(2;1)$ e $R^2 = 4 + 1 + 4 = 9$, cioè $R = 3$.

Fascio per $P$: $y - 5 = m(x - 5)$, ovvero $mx - y + 5 - 5m = 0$ (la retta verticale $x = 5$ è esclusa dal fascio e va controllata a parte).

Distanza uguale al raggio: $d(C,r) = \frac{|m\cdot 2 - 1 + 5 - 5m|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|4 - 3m|}{\sqrt{m^2+1}} = 3.$ Elevando al quadrato: $(4-3m)^2 = 9(m^2+1) \iff 16 - 24m + 9m^2 = 9m^2 + 9 \iff 24m = 7 \iff m = \tfrac{7}{24}.$

Il fascio dà una sola tangente: $y - 5 = \tfrac{7}{24}(x-5)$, cioè $y = \tfrac{7}{24}x + \tfrac{85}{24}$.

La verticale esclusa. Sostituiamo $x = 5$ in $\gamma$: $25 + y^2 - 20 - 2y - 4 = 0 \iff y^2 - 2y + 1 = 0 \iff (y-1)^2 = 0$, radice doppia. Dunque $x = 5$ è tangente.

Soluzione: due tangenti, $\boxed{x = 5 \ \text{e}\ y = \tfrac{7}{24}x + \tfrac{85}{24}.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Distanza punto retta · Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico