Esempio — tangenti con il metodo del delta

Esempio — Tangenti da un punto esterno, metodo del $\Delta$

Trovare le tangenti alla circonferenza $\gamma:\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ passanti per $P(0;4)$.

Centro e raggio: $C(1;2)$, con $R^2 = \dfrac{(-2)^2}{4} + \dfrac{(-4)^2}{4} - 4 = 1 + 4 - 4 = 1$, cioè $R = 1$.

Fascio per $P$: $y - 4 = m\,x$, ovvero $mx - y + 4 = 0$. Mettiamo a sistema con $\gamma$: $\begin{cases} y = mx + 4 \\ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \end{cases}$ Sostituendo $y$ nella seconda equazione: $x^2 + (mx+4)^2 - 2x - 4(mx+4) + 4 = 0 \implies (1+m^2)x^2 + (4m-2)x + 4 = 0.$

Tangenza: $\Delta = 0$. $\Delta = (4m-2)^2 - 16(1+m^2) = 16m^2 - 16m + 4 - 16 - 16m^2 = -16m - 12.$ $\Delta = 0 \iff m = -\tfrac{3}{4}$. Dal fascio troviamo una sola tangente.

La generatrice esclusa. Il fascio $y - 4 = m\,x$ non include la retta verticale $x = 0$. Controlliamola direttamente: sostituendo $x = 0$ nell’equazione di $\gamma$ si ha $y^2 - 4y + 4 = 0 \iff (y-2)^2 = 0 \iff y = 2$ (radice doppia). Dunque $x = 0$ interseca $\gamma$ in un solo punto con molteplicità due: è tangente.

Soluzione: due tangenti, $\boxed{y = -\tfrac{3}{4}x + 4 \ \text{e}\ x = 0.}$ ✓

Le due tangenti a $\gamma$ condotte dal punto esterno $P$: la retta $y=-\tfrac34 x+4$ e la retta verticale $x=0$.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Punto esterno · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni