Quando un'equazione è una circonferenza

Non ogni equazione di secondo grado in $x$ e $y$ rappresenta una circonferenza. Occorre controllare la struttura dei termini di grado due e il segno del raggio al quadrato.

Attenzione — Quando un'equazione non è una circonferenza

Perché un’equazione del tipo $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$ rappresenti una circonferenza occorre che:

• siano presenti contemporaneamente i termini $x^2$ e $y^2$ (altrimenti è una parabola o degenera);
• i coefficienti di $x^2$ e di $y^2$ siano uguali ($A = B$, così dividendo per $A$ si ottiene la forma standard);
• $R^2 = \tfrac{a^2}{4} + \tfrac{b^2}{4} - c$ sia positivo. Se $R^2 = 0$ l‘“equazione” descrive un unico punto (il centro); se $R^2 < 0$ non ha soluzioni reali (insieme vuoto).

I casi $R^2 = 0$ e $R^2 < 0$ si chiamano circonferenze degeneri: formalmente l’equazione è nella forma standard, ma geometricamente non c’è alcuna circonferenza vera e propria.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Circonferenza degenere · Equazione circonferenza · Forma standard · Raggio
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi