Forma implicita ed esplicita

L’equazione della circonferenza si può scrivere in due forme equivalenti: la forma “vertice”, che mette in evidenza centro e raggio, e la forma “standard”, che è un’equazione di secondo grado con termini $x^2$ e $y^2$ dai coefficienti uguali.

Proprietà — Forma implicita ed esplicita

L’equazione di una circonferenza di centro $C(x_0;y_0)$ e raggio $R$ è $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \qquad \text{(forma ``vertice'')}$ che, sviluppando, diventa $x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0 \qquad \text{(forma ``standard'')}$ con la corrispondenza $a = -2 x_0,\quad b = -2 y_0,\quad c = x_0^2 + y_0^2 - R^2.$ Invertendo, data l’equazione nella forma standard si ricavano centro e raggio: $\boxed{C\left(-\tfrac{a}{2};\ -\tfrac{b}{2}\right),\qquad R^2 = \tfrac{a^2}{4} + \tfrac{b^2}{4} - c.}$

Le due forme si usano in situazioni diverse: la forma vertice è comoda quando centro e raggio sono noti, la forma standard quando la circonferenza è data da un’equazione o va determinata imponendo delle condizioni.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Centro · Equazione circonferenza · Forma standard · Forma vertice · Raggio
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Usare formule