Luogo geometrico

Molti problemi di geometria analitica chiedono di trovare l’equazione di una curva a partire da una proprietà che ne caratterizza i punti. Per esempio: quali sono tutti i punti del piano che hanno uguale distanza dai due estremi di un segmento? Quelli che hanno uguale distanza da un punto e da una retta? Quelli che distano una quantità fissata da un centro?

Le risposte — l’asse del segmento, la parabola, la circonferenza — sono curve note, ma è istruttivo ricavarle dalla loro definizione di luogo.

Definizione — Luogo geometrico

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una data proprietà. L’equazione del luogo è l’equazione in $x,y$ che i punti del luogo soddisfano e che nessun altro punto del piano soddisfa.

Il metodo per ricavarne l’equazione è sempre lo stesso:

1. si prende un punto generico $P(x;y)$;
2. si traduce la proprietà in un’uguaglianza tra distanze;
3. si elevano al quadrato i termini con radice (sempre lecito, perché le distanze sono $\ge 0$);
4. si semplifica fino a ottenere un’equazione in $x$ e $y$.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Distanza punto retta · Distanza tra punti · Luogo geometrico · Piano cartesiano · Retta
Competenze: Geometria analitica