Bisettrici di due rette date

Esempio

Scrivere le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da $r:\ y - 2 = 0$ e $s:\ x - y = 0$.

Scrittura implicita: $r:\ 0\cdot x + 1\cdot y - 2 = 0$, $s:\ 1\cdot x - 1\cdot y = 0$.

Condizione di luogo: $\frac{|y_P - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|x_P - y_P|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \implies |y - 2| \cdot \sqrt{2} = |x - y|.$ Portando $\sqrt{2}$ dentro il primo valore assoluto: $|\sqrt{2}(y-2)| = |x-y|$. Siamo in un caso $|A| = |C|$, che si risolve con l’unione dei due casi $A = C$ e $A = -C$: $\sqrt{2}(y-2) = x - y \ \cup\ \sqrt{2}(y-2) = -(x - y).$ Svolgendo si ottengono: $b_1:\ y = (\sqrt{2}-1)x + 2(2-\sqrt{2}) \approx 0.414\,x + 1.17,$ $b_2:\ y = -(\sqrt{2}+1)x - 2(2+\sqrt{2}) \approx -2.414\,x - 6.83.$

Verifica. Le due bisettrici sono perpendicolari: $m_1 m_2 = (\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2}-1) = -(\sqrt{2}^2 - 1) = -1$. ✓

Le due rette $r$ ed $s$ e le loro bisettrici $b_1$ e $b_2$, perpendicolari tra loro.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Bisettrice · Distanza punto retta · Retta · Valore assoluto
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni