Studio completo di un fascio

Testo

Nel fascio $k(x+2y-1) + (x-y+2) = 0$:

• (a) determinare il sostegno;
• (b) trovare la retta del fascio parallela all’asse $x$;
• (c) trovare la retta parallela a $y = 3x-5$;
• (d) trovare la retta che dista $2$ dall’origine.

Soluzione

Le due generatrici sono $r_1: x+2y-1 = 0$ (quella che moltiplica $k$) e $r_2: x-y+2 = 0$ (la parte indipendente da $k$). Riordinando l’equazione del fascio in $x$, $y$: $(1+k)\,x + (2k-1)\,y + (2-k) = 0.$

(a) Sostegno. È il punto di intersezione delle generatrici. Da $x-y+2=0$ si ha $x=y-2$; sostituendo in $x+2y-1=0$: $(y-2)+2y-1=0 \implies 3y-3=0 \implies y=1,\quad x=-1.$ Le generatrici sono incidenti (pendenze $-\tfrac12$ e $1$), quindi il fascio è proprio con sostegno $\boxed{P(-1;1)}$.

(b) Parallela all’asse $x$. Una retta orizzontale ha coefficiente di $x$ nullo: $1+k=0 \implies k=-1$. Sostituendo: $0\cdot x + (2(-1)-1)\,y + (2-(-1)) = 0 \implies -3y+3=0 \implies \boxed{y=1}.$ (La generatrice esclusa $r_1$ non è orizzontale, quindi non aggiunge soluzioni.)

(c) Parallela a $y=3x-5$. Serve pendenza $3$. La pendenza della retta del fascio è $-\dfrac{1+k}{2k-1}$, quindi: $-\frac{1+k}{2k-1}=3 \implies -(1+k)=3(2k-1) \implies -1-k=6k-3 \implies 7k=2 \implies k=\tfrac{2}{7}.$ Sostituendo e moltiplicando per $7$: $9x-3y+12=0$, cioè $\boxed{y=3x+4}$.

(d) Distanza $2$ dall’origine. La distanza di $O(0;0)$ dalla retta del fascio è $d=\frac{|2-k|}{\sqrt{(1+k)^2+(2k-1)^2}}=\frac{|2-k|}{\sqrt{5k^2-2k+2}}.$ Imponendo $d=2$ ed elevando al quadrato: $(2-k)^2 = 4(5k^2-2k+2)$, cioè $19k^2-4k+4=0, \qquad \Delta = 16-304 = -288 < 0.$ Nessun valore reale di $k$. Controlliamo anche la generatrice esclusa $r_1: x+2y-1=0$, la cui distanza da $O$ è $\dfrac{1}{\sqrt5}\approx 0{,}45 \ne 2$. Il motivo è geometrico: ogni retta del fascio passa per $P(-1;1)$, e la distanza di $O$ da una retta per $P$ non può superare $|OP|=\sqrt2\approx 1{,}41 < 2$. Quindi $\boxed{\text{nessuna retta del fascio dista }2\text{ dall'origine}}$.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Distanza punto retta · Fascio di rette · Fascio proprio · Generatrici · Parallelismo · Parametro del fascio · Retta · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico