La scrittura monoparametrica

Normalizzando $\alpha=1$ nella forma a due generatrici si ottiene la scrittura monoparametrica usata nella pratica: $r_1 + k\,r_2 = 0,$ dove $k$ è il parametro del fascio. Bisogna però ricordare che questa normalizzazione esclude una delle due generatrici: precisamente, ponendo $k\to\infty$ si “ottiene” formalmente $r_2=0$, ma nessun valore finito di $k$ dà $r_2$.

Attenzione

Quando si risolvono problemi con $r_1 + k\,r_2 = 0$, occorre sempre controllare a parte se la generatrice $r_2$ è essa stessa soluzione del problema: essa non è mai raggiunta da un valore finito di $k$.

Osservazione — Come riconoscere le generatrici di un fascio scritto come $r_1+k\,r_2=0$

Se un fascio è dato nella forma $F(x,y) + k\,G(x,y) = 0$, le due generatrici sono semplicemente $F=0$ e $G=0$: basta raccogliere tutto ciò che non dipende da $k$ in $F$, e tutto ciò che moltiplica $k$ in $G$. Se poi $F$ e $G$ sono incidenti, il fascio è proprio; se sono parallele, è improprio.

Esempio — Trovare il sostegno di un fascio proprio

Dato il fascio $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, determinare il sostegno (se il fascio è proprio).

Raccolta del parametro: $k\,(-y + 1) + (x + 2) = 0$.

Le due generatrici sono $r_1: x+2 = 0$ (cioè $x=-2$) e $r_2: -y+1=0$ (cioè $y=1$). Sono due rette incidenti (una verticale e una orizzontale), quindi il fascio è proprio con sostegno nel loro punto di intersezione $P(-2;1)$.

Nella simulazione seguente il fascio proprio è generato da $r_1:\ x - y - 1 = 0$ e $r_2:\ x + y - 3 = 0$: al variare del parametro $k$ la retta $r_1 + k\,r_2 = 0$ ruota attorno al sostegno $P(2;1)$.

Trascina il cursore $k$: ogni retta del fascio (in rosso) passa per il sostegno $P(2;1)$, ma nessun valore finito di $k$ restituisce la generatrice $r_2$.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Fascio di rette · Fascio proprio · Generatrici · Parametro del fascio · Sostegno del fascio
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi