Elevare al quadrato senza sdoppiare

Nei due casi precedenti lo sdoppiamento nasceva dal fatto che il secondo membro poteva avere segno qualunque. Se invece il secondo membro è, per costruzione, una quantità sempre $\ge 0$ — un altro radicale, un valore assoluto, una somma di quadrati, una distanza — allora lo studio del segno è gratuito: non serve distinguere casi. Basta imporre le CE ed elevare direttamente al quadrato.

Proprietà — Quando si può elevare al quadrato senza sdoppiare casi

Data una disequazione nella forma $\sqrt{A(x)}\ \lessgtr\ \sqrt{B(x)},\qquad \sqrt{A(x)}\ \lessgtr\ |C(x)|,\qquad |A(x)|\ \lessgtr\ |C(x)|,$ il secondo membro è sempre $\ge 0$ (entro le CE). Pertanto anche il primo membro, essendo non negativo, ha lo stesso segno e si può elevare direttamente al quadrato senza distinguere casi. Il procedimento si riduce a tre passaggi:

1. Scrivere le CE (sui radicali al primo e al secondo membro).
2. Elevare al quadrato entrambi i membri.
3. Intersecare la soluzione con le CE.

Dimostrazione

Per l’equivalenza $\sqrt{A}\le |C| \iff A\le C^2$ entro le CE basta osservare che entrambi i membri sono $\ge 0$: la funzione $t\mapsto t^2$ è strettamente crescente su $[0,+\infty)$ e quindi monotona; applicandola a ogni membro la disuguaglianza si conserva. Per $|A|\le |C|$ il ragionamento è identico notando che $|A|^2=A^2$ e $|C|^2=C^2$: il valore assoluto sparisce nel momento in cui si eleva al quadrato, e non va nemmeno “studiato”. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Valore assoluto
Metodi: Elevamento al quadrato · Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Dimostrare · Risolvere disequazioni