Angolo al centro e angolo alla circonferenza

Fissato un arco $AB$, possiamo osservarlo da due punti di vista: dal centro $O$ della circonferenza, oppure da un punto $P$ della circonferenza stessa. Il legame tra i due angoli è sorprendentemente semplice.

Teorema — Angolo al centro e alla circonferenza

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti, e ciascuno è la metà dell’angolo al centro corrispondente: $\alpha_{\text{circ}} = \frac{\alpha_{\text{centro}}}{2} = \frac{\text{arco}}{2\cdot\text{raggio}} \quad\text{(in radianti)}$

Nella figura, l’angolo al centro $\widehat{AOB}$ vale $2\alpha$, mentre gli angoli alla circonferenza $\widehat{APB}$ e $\widehat{AQB}$, che insistono sullo stesso arco $AB$, valgono entrambi $\alpha$.

L’angolo al centro $\widehat{AOB}=2\alpha$ è il doppio di ogni angolo alla circonferenza $\widehat{APB}=\widehat{AQB}=\alpha$ che insiste sullo stesso arco.

Nella simulazione seguente puoi verificare il teorema in prima persona: trascina i punti $A$, $B$ e $P$ lungo la circonferenza e osserva che l’angolo al centro resta sempre il doppio dell’angolo alla circonferenza.

Trascina $A$, $B$ e $P$ lungo la circonferenza: l'angolo al centro $\widehat{AOB}$ è sempre il doppio dell'angolo alla circonferenza $\widehat{APB}$ (finché $P$ resta sull'arco maggiore).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Angolo alla circonferenza · Arco
Competenze: Geometria sintetica