Retta tangente alla parabola

Una retta è tangente alla parabola quando la “tocca” in un solo punto: algebricamente ciò accade quando il discriminante del sistema retta-parabola vale zero ($\Delta=0$).

Esempio

Data la parabola $y=\frac12 x^2-2x+1$ e la retta $y=mx-3$, per quali valori di $m$ la retta è secante, tangente o esterna?

Vertice della parabola: $x_V=-\dfrac{-2}{2\cdot\frac12}=2$, $\ y_V=\frac12\cdot4-4+1=-1$, quindi $V(2,-1)$.

Sistema: $mx-3=\frac12 x^2-2x+1 \implies \frac12 x^2-(2+m)x+4=0$.

Discriminante: $\Delta=(2+m)^2-4\cdot\tfrac12\cdot4=m^2+4m+4-8=m^2+4m-4.$

• $\Delta=0$ (tangente): $m^2+4m-4=0 \implies m=-2\pm2\sqrt2$;
• $\Delta>0$ (secante): $m<-2-2\sqrt2$ oppure $m>-2+2\sqrt2$;
• $\Delta<0$ (esterna): $-2-2\sqrt2<m<-2+2\sqrt2$.

Esempio — Fascio di rette per un punto

Data la parabola $y=-\frac12 x^2+x+1$, che passa per $P(0,1)$, e la retta $y=mx+1$ (fascio di rette per $P$): $mx+1=-\tfrac12 x^2+x+1 \implies \tfrac12 x^2-x(1-m)=0 \implies x\left[\tfrac12 x-(1-m)\right]=0.$ Le soluzioni sono $x=0$ (sempre, perché la retta passa per $P$) e $x=2(1-m)$. La retta è tangente in un punto diverso da $P$ quando $2(1-m)=0$, cioè $m=1$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Retta · Retta tangente · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni · Risolvere sistemi