Verifica di una radice della cubica

Testo

Verificare che $y^3+3y-4=0$ ha $y=1$ come radice. Calcolare $D$ e confermare con la formula di Cardano.

Soluzione

Sostituendo $y=1$: $1+3-4=0$, quindi $y=1$ è radice.

Qui $p=3$, $q=-4$. Il discriminante è $D=\Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 = 4 + 1 = 5 > 0,$ dunque c’è una sola radice reale. La formula di Cardano dà $y = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}.$ Poiché $2-\sqrt{5}<0$, la seconda radice cubica è negativa. Osservando che $\Bigl(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\Bigr)^3 = 2+\sqrt5$ e $\Bigl(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\Bigr)^3 = 2-\sqrt5$, la somma vale $y = \frac{1+\sqrt5}{2}+\frac{1-\sqrt5}{2} = \boxed{1},$ in accordo con la verifica diretta.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante cubica · Equazione terzo grado
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Dimostrare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione