Problema svolto — rettangolo con perimetro e area assegnati

Testo

Il perimetro di un rettangolo è $24$ cm e la sua area è $32$ cm². Quanto misurano i lati? Prova ad applicare le quattro mosse: capire, cercare una strada, svolgere, rileggere.

Soluzione

Capire. Dati: perimetro $2p=24$, area $A=32$. Incognite: base $x$ e altezza $y$. Il testo diventa il sistema $\begin{cases} 2x+2y = 24\\ x\,y = 32 \end{cases}$ (vedi capire il problema di algebra).

Cercare una strada. Due equazioni, due incognite: problema ben posto. Si può procedere per sostituzione, oppure con le formule di Viète (vedi cercare la strada).

Svolgere. Da $y=12-x$ sostituito nella seconda equazione: $x(12-x)=32 \;\Longrightarrow\; x^2-12x+32=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{12\pm 4}{2},$ cioè $x=8$ o $x=4$, con $y=4$ o $y=8$. I lati misurano $\boxed{4\ \text{cm}}$ e $\boxed{8\ \text{cm}}$.

Rileggere. Verifica: $2(4+8)=24$ ✓ e $4\cdot 8=32$ ✓. Estensione: con perimetro $24$, l’equazione $x^2-12x+A=0$ ha soluzioni reali solo se $A\le 36$; l’area massima è $36$, raggiunta dal quadrato di lato $6$ (vedi rileggere il problema).

Collegamenti

Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Dati e incognite · Risoluzione problemi
Competenze: Modellizzare · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione