Binomio di Newton per induzione

Testo

Dimostra il binomio di Newton $\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ per induzione su $n$.

Soluzione

Base ($n=0$): $(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0$. Vero.

Passo: supponiamo valga per $n$ e moltiplichiamo per $(a+b)$: $(a+b)^{n+1}=(a+b)\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^k + \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}.$ Riallineando gli indici e raccogliendo il termine di grado $b^k$, si usa la regola di Stifel $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$: $(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k,$ che è la formula per $n+1$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Persone: Isaac Newton
Tipo di esercizio: Dimostrazione