Divisibilità di n cubo meno n per 6

Testo

Dimostra che per ogni $n\ge 1$ il numero $n^3-n$ è divisibile per $6$.

Soluzione

Base ($n=1$): $1^3-1=0$, divisibile per $6$.

Passo: supponiamo che $6\mid k^3-k$. Allora $(k+1)^3-(k+1) = (k^3-k) + 3k^2+3k = (k^3-k) + 3k(k+1).$ Il primo addendo è divisibile per $6$ per ipotesi. Nel secondo, $k(k+1)$ è il prodotto di due interi consecutivi, quindi è pari: perciò $3k(k+1)$ è divisibile per $6$. La somma è divisibile per $6$, cioè $6\mid (k+1)^3-(k+1)$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione