Controllo qualità, ipergeometrica vs binomiale

Testo

Per il controllo qualità dell’esempio ($N=1000$, $K=20$, $n=50$): confrontare $P(X=0)$ ipergeometrica con la binomiale approssimante $B(50;\,0{,}02)$. Commentare l’errore.

Soluzione

Ipergeometrica: $P_{\text{Hyp}}(X=0) = \frac{\binom{980}{50}}{\binom{1000}{50}} \approx 0{,}358.$ Binomiale $B(50;\,0{,}02)$ con $p = K/N = 20/1000 = 0{,}02$: $P_{B}(X=0) = (1-0{,}02)^{50} = 0{,}98^{50} \approx 0{,}364.$ L’errore assoluto è circa $0{,}006$ (poco più dell’$1{,}5\%$ in termini relativi): l’approssimazione è ottima. Il motivo è la regola pratica: il campione è il $n/N = 50/1000 = 5\%$ della popolazione, sotto la soglia del $10\%$, quindi reimmissione e non reimmissione danno risultati quasi identici. $\boxed{P_{\text{Hyp}}\approx 0{,}358,\ P_B\approx 0{,}364}$

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione binomiale · Distribuzione ipergeometrica
Metodi: Binomiale · Distribuzione ipergeometrica
Competenze: Analisi casi limite · Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita