Problema — Caduta con resistenza dell'aria

Testo

Un corpo di massa $m$ cade con resistenza dell’aria proporzionale alla velocità: $mv' = mg - kv$. Risolvere per $v(t)$ con $v(0)=0$ e trovare la velocità limite.

Soluzione

Riscriviamo come $v' = g - \dfrac{k}{m}v$: è a variabili separabili. Separiamo: $\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v} = dt.$ Integrando (il primo membro dà $-\frac{m}{k}\ln\bigl|g-\frac{k}{m}v\bigr|$) e imponendo $v(0)=0$ si ottiene: $\boxed{v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)}$ La velocità limite si trova per $t\to\infty$ (oppure ponendo $v'=0$): $\boxed{v_{\lim} = \frac{mg}{k}}$ La velocità cresce e si avvicina esponenzialmente al valore limite, quando la resistenza $kv$ bilancia esattamente la forza peso $mg$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Decadimento · Edo lineare primo ordine · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione