Equazione caratteristica e i tre casi

Proprietà — Equazione caratteristica

Per $ay'' + by' + cy = 0$ si cerca la soluzione nella forma $y = e^{\lambda x}$, da cui l’equazione caratteristica: $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0.$ Tre casi, secondo il segno del discriminante $\Delta$:

• $\Delta > 0$: due radici reali $\lambda_1,\lambda_2$ $\implies y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$;
• $\Delta = 0$: radice doppia $\lambda$ $\implies y = (C_1+C_2 x)e^{\lambda x}$;
• $\Delta < 0$: radici complesse $\alpha\pm i\beta$ $\implies y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Edo lineare secondo ordine · Equazione caratteristica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni