La regola di De L'Hôpital

La regola di De L’Hôpital permette di calcolare i limiti che si presentano nelle forme indeterminate $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ passando al rapporto delle derivate.

Teorema — De L'Hôpital

Se $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ è nella forma $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, e se $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ esiste (finito o infinito), allora: $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Attenzione

De L’Hôpital si applica SOLO quando il rapporto è in una forma indeterminata $0/0$ o $\infty/\infty$. Se il limite è in una forma determinata, non usare De L’Hôpital: si ottiene un risultato sbagliato. Inoltre, se il limite delle derivate non esiste, il teorema non dà informazioni (ma il limite originale potrebbe comunque esistere).

Esempio

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$. Forma $\frac{0}{0}$. Applichiamo: $\dfrac{(e^x)'}{(x)'} = \dfrac{e^x}{1} \to \dfrac{e^0}{1} = 1$.

Esempio — De L'Hôpital applicato due volte

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$. Forma $\frac{0}{0}$. Prima applicazione: $\dfrac{e^x-1}{2x}$. Ancora $\frac{0}{0}$. Seconda applicazione: $\dfrac{e^x}{2}\to\dfrac{1}{2}$.

Osservazione

De L’Hôpital è molto potente ma non è l’unico metodo: le funzioni equivalenti (viste nel capitolo sui limiti) spesso sono più veloci. Conviene usare De L’Hôpital come “arma di riserva” quando le funzioni equivalenti non bastano.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Derivata · Forma indeterminata · Teorema di de l hopital
Metodi: Limiti lhopital
Competenze: Calcolare limiti
Persone: Guillaume de l’Hôpital