Il teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange, detto anche teorema del valore medio, afferma che per una funzione regolare la pendenza media sull’intervallo è realizzata come pendenza istantanea in almeno un punto interno.

Teorema — Lagrange

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$, esiste almeno un $c\in(a,b)$ tale che: $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Osservazione — Significato geometrico

Il membro di destra è il coefficiente angolare della secante passante per $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. Il teorema dice che esiste almeno un punto $c$ dove la tangente è parallela alla secante.

In $c$ la tangente (rossa) è parallela alla secante (arancione) che congiunge gli estremi $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.

Esempio — Quesito maturità 2007: Lagrange su $f(x)=x^3+8$

Dimostriamo che $f(x) = x^3+8$ soddisfa il teorema di Lagrange su $[-2,2]$ e troviamo $c$.

Ipotesi: $f$ è un polinomio, quindi continua e derivabile ✓.

Calcolo: $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{(8+8)-(-8+8)}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$.

Trovo $c$: impongo $f'(c) = 3c^2 = 4 \implies c^2 = \dfrac{4}{3} \implies c = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15$.

Controllo: $c\approx \pm 1{,}15 \in (-2,2)$ ✓.

Nella simulazione seguente puoi spostare gli estremi $a$ e $b$: il punto $c$ si aggiorna in tempo reale e la tangente in $c$ resta sempre parallela alla corda $AB$.

Trascina i cursori $a$ e $b$: la tangente in $c$ è sempre parallela alla corda $AB$.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Secante · Tangente · Teorema del valor medio · Teorema di lagrange
Metodi: Rolle lagrange
Persone: Joseph-Louis Lagrange