Il teorema di Rolle

Il teorema di Rolle mette in relazione i valori che una funzione assume agli estremi di un intervallo con l’esistenza di un punto a tangente orizzontale al suo interno.

Teorema — Rolle

Se $f$ è continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$, e $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Osservazione — Significato geometrico

Se la funzione parte e arriva alla stessa altezza ($f(a)=f(b)$), da qualche parte in mezzo deve avere una tangente orizzontale. È “ovvio” guardando il grafico, ma la dimostrazione richiede il teorema di Weierstrass.

Curva con $f(a)=f(b)$: nel punto $c$ (dove $x\approx 2{,}5$) la tangente è orizzontale, cioè $f'(c)=0$.

Esempio — Verifica delle ipotesi

Consideriamo $f(x) = x^2-4x+3$ su $[1,3]$.

Verifico le ipotesi: $f$ è un polinomio, quindi continua e derivabile ovunque ✓. Inoltre $f(1) = 1-4+3 = 0$ e $f(3) = 9-12+3 = 0$, dunque $f(a)=f(b)$ ✓.

Trovo $c$: impongo $f'(x) = 2x-4 = 0 \iff x = 2$. Verifica: $c=2\in(1,3)$ ✓.

Significato: nel punto $x=2$ il grafico ha tangente orizzontale (è il vertice della parabola).

Esplora il teorema nella simulazione: sposta il punto di prova lungo la curva e cerca dove la tangente diventa orizzontale.

Trascina il cursore $x$: la tangente al grafico diventa orizzontale in $c=3$, dove $f'(c)=0$.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Derivata · Tangente · Teorema di rolle
Metodi: Rolle lagrange
Persone: Michel Rolle