Studio di funzione con parametro

Testo

Studia, al variare del parametro reale $m$, la funzione $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+m+|m|}.$

Soluzione

Il termine $m+|m|$ dipende dal segno di $m$: vale $0$ se $m\le 0$ e $2m$ se $m>0$. Conviene quindi ragionare per casi.

Caso $m<0$. Allora $|m|=-m$, quindi $m+|m|=0$ e $f(x) = \frac{2x+1}{x^2}.$ Condizione di esistenza: $x\ne 0$. La funzione ha un asintoto verticale in $x=0$ e un asintoto orizzontale $y=0$. Si ha $f'(x) = -\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}.$ Lo studio completo (simmetrie, segno con $f>0$ per $x>-\tfrac{1}{2}$ e $x\ne 0$, derivata, flesso in $x=-\tfrac{3}{2}$) porta al grafico.

Caso $m>0$. Allora $m+|m|=2m>0$ e $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2m}.$ Il denominatore è $>0$ per ogni $x$: il dominio è $\mathbb{R}$ e non c’è alcun asintoto verticale. Il comportamento qualitativo è completamente diverso.

Caso $m=0$. Si ha $m+|m|=0$, quindi $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2}$, uguale al caso $m<0$.

Conclusione. Per ciascun caso si conduce lo studio completo e si disegna il grafico. La transizione qualitativa avviene in $m=0$: per $m\le 0$ c’è un asintoto verticale in $x=0$, per $m>0$ no.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Dominio · Parametro · Segno · Studio di funzione
Funzioni: Funzione razionale
Metodi: Studio funzione
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione