Massimi e minimi assoluti - il metodo della tabella

Per trovare i massimi e i minimi assoluti di una funzione continua su un intervallo chiuso $[a,b]$, il teorema di Weierstrass garantisce che essi esistono. Il metodo pratico consiste nel costruire una tabella dei candidati.

In sintesi — Metodo della tabella per max/min assoluti

1. Calcolare $f'(x)$ e trovare tutti i punti stazionari ($f'(x)=0$) interni a $(a,b)$.
2. Calcolare $f$ nei punti stazionari e ai bordi $a, b$.
3. Mettere tutto in una tabella e confrontare: il valore più grande è il massimo assoluto, il più piccolo il minimo assoluto.

L’idea è che un estremo assoluto su $[a,b]$ può cadere solo in un punto stazionario interno oppure in un estremo dell’intervallo: basta quindi calcolare $f$ in questi pochi punti candidati e confrontarne i valori.

$x$	$y=f(x)$	Tipo
$a$	$f(a)$	Bordo sinistro
$b$	$f(b)$	Bordo destro
$x_1$	$f(x_1)$	Punto stazionario
$x_2$	$f(x_2)$	Punto stazionario

$\to$ max assoluto $=$ valore $y$ più grande    $\to$ min assoluto $=$ valore $y$ più piccolo

Esempio — Max/min assoluti su un intervallo

Cerchiamo massimo e minimo assoluti di $f(x) = x^3-3x$ su $[0,7]$. La derivata è $f'(x) = 3x^2-3 = 0 \iff x=\pm 1$; solo $x=1\in(0,7)$ è interno all’intervallo (l’altro è fuori).

$x$	$f(x)$	Tipo
$0$	$0$	Bordo
$7$	$343-21=322$	Bordo
$1$	$1-3=-2$	$f'=0$

Confrontando i valori: massimo assoluto $\boxed{322}$ in $x=7$, minimo assoluto $\boxed{-2}$ in $x=1$.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimi minimi assoluti · Punto stazionario · Teorema di weierstrass
Competenze: Studiare funzione