Classificare punti di non derivabilità

Testo

Classificare il punto $x_0 = 0$ per ciascuna funzione: (a) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$; (b) $f(x) = x^{2/3}\sin x$; (c) $f(x) = |x^2-1|$ in $x_0 = 1$; (d) $f(x) = \sqrt[5]{x}$.

Soluzione

(a) $f(x)=x^{2/3}$, $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Per $x\to 0^+$: $f'\to+\infty$; per $x\to 0^-$: $f'\to-\infty$. Infinite di segno opposto: cuspide.

(b) Rapporto incrementale in $0$: $\dfrac{x^{2/3}\sin x}{x} = x^{-1/3}\sin x = x^{2/3}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\to 0$. La derivata esiste, $f'(0)=0$: punto derivabile (stazionario), non un punto di non derivabilità.

(c) Vicino a $x_0=1$: per $x>1$, $x^2-1>0$, $f=x^2-1$, $f'_+(1)=2$; per $x<1$, $f=1-x^2$, $f'_-(1)=-2$. Finite e diverse: punto angoloso.

(d) $f(x)=x^{1/5}$, $f'(x)=\frac{1}{5}x^{-4/5}\to+\infty$ da entrambi i lati (stesso segno): flesso a tangente verticale.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Cuspide · Punto angoloso · Punto non derivabile · Tangente verticale
Metodi: Punto non derivab classificazione
Competenze: Calcolare limiti · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Calcolo derivata