Derivata di ln del valore assoluto di x

Testo

Verificare che $D[\ln|x|] = 1/x$ sia per $x>0$ sia per $x<0$.

Soluzione

Si distinguono i due casi secondo il segno di $x$.

Caso $x>0$: $|x|=x$, quindi $\ln|x|=\ln x$ e $D[\ln x] = \dfrac{1}{x}$.

Caso $x<0$: $|x|=-x$, quindi $\ln|x|=\ln(-x)$. Con la regola della catena: $D[\ln(-x)] = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}.$ In entrambi i casi $D[\ln|x|] = \boxed{\dfrac{1}{x}}$ (per ogni $x\ne 0$).

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata composta · Valore assoluto
Competenze: Derivare · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Calcolo derivata