Limite con De L'Hôpital

Testo

Con la regola di De L’Hôpital: $\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$.

Soluzione

È una forma $\frac{0}{0}$. Applicando De L’Hôpital ripetutamente (sempre forma $\frac00$): $\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{6} = \boxed{\frac{1}{6}}.$ Lo stesso risultato si ottiene in un solo passaggio con lo sviluppo di Taylor $\sin x = x - x^3/6 + o(x^4)$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Limite · Regola di de l hopital
Competenze: Calcolare limiti
Persone: Guillaume de l’Hôpital
Tipo di esercizio: Calcolo limite