Il teorema di Fermat

Il teorema di Fermat collega i massimi e minimi relativi all’annullarsi della derivata: nei punti di estremo interni, se $f$ è derivabile, la tangente è orizzontale.

Teorema — Fermat

Se $f$ ha un massimo o minimo relativo in un punto interno $x_0$ del suo dominio e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) = 0$.

Osservazione — Significato geometrico

Nel punto di massimo o minimo relativo la tangente al grafico è orizzontale. I punti dove $f'(x_0)=0$ si chiamano punti stazionari o punti critici. Ma attenzione: non tutti i punti critici sono estremi (esempio: $f(x)=x^3$ ha $f'(0)=0$ ma $x=0$ è un flesso, non un estremo).

Nel punto di massimo relativo la tangente è orizzontale: $f'(x_0)=0$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Massimo minimo · Punto stazionario · Teorema di fermat
Competenze: Studiare funzione
Persone: Pierre de Fermat