Punto angoloso

Il primo caso è quello in cui le due derivate laterali esistono finite ma sono diverse: il grafico presenta uno “spigolo”.

Definizione — Punto angoloso

$x_0$ è un punto angoloso di $f$ se le derivate laterali $f'_-(x_0)$, $f'_+(x_0)$ esistono finite ma sono diverse. Geometricamente: il grafico ha due semitangenti con coefficienti angolari distinti.

Esempio — $f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$

Per $x > 0$: $f(x) = x$, $f'(x) = 1$, quindi $f'_+(0) = 1$. Per $x < 0$: $f(x) = -x$, $f'(x) = -1$, quindi $f'_-(0) = -1$. Le due derivate sono $1$ e $-1$: finite e diverse. $x_0 = 0$ è un punto angoloso.

In $x_0=0$ il grafico di $|x|$ ha un angolo netto: due semitangenti di pendenza $-1$ e $+1$.

Esempio — Funzione a tratti con raccordo non liscio

Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \le 1, \\ 3x-2 & x > 1. \end{cases}$ Continuità in $x_0 = 1$: $f(1^-) = 1$, $f(1^+) = 3\cdot 1 - 2 = 1$, $f(1) = 1$ ✓.

Derivate laterali: $f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2 - 1}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) = 2, \quad f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{(3x-2)-1}{x-1} = 3.$ $f'_-(1) = 2 \ne 3 = f'_+(1)$: punto angoloso.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata laterale · Punto angoloso · Punto non derivabile
Metodi: Punto non derivab angoloso
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