La derivata come pendenza della tangente

Prima di ogni formula, la derivata è un concetto geometrico: è il numero che misura quanto è inclinata la curva in un punto. Se il grafico di una funzione $f$ sale ripidamente, la derivata è un numero grande e positivo; se scende dolcemente, è un numero negativo piccolo; se è piatto, la derivata è zero.

Definizione — La derivata come pendenza

La derivata di $f$ nel punto $x_0$, indicata con $f'(x_0)$ o con $\frac{df}{dx}\big|_{x_0}$, è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$.

Come nasce, geometricamente, questa retta tangente? Si parte da una retta secante e si passa al limite.

Dalla secante alla tangente: la secante arancione passa per $P$ e $Q$ con pendenza $\Delta f/\Delta x$; quando $Q$ si avvicina a $P$ lungo la curva la secante ruota e tende alla tangente (rossa), la cui pendenza è la derivata.

La retta secante ha per pendenza il rapporto $\Delta f/\Delta x$ fra la variazione dell’altezza e quella dell’ascissa. Quando il secondo punto $Q$ scivola verso $P$, la secante “ruota” e si adagia sulla curva: al limite diventa la tangente, e la sua pendenza è proprio la derivata.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Coefficiente angolare · Derivata · Retta · Retta tangente
Competenze: Interpretare grafico