I tre tipi di discontinuità

Quando in un punto la continuità viene a mancare, la discontinuità si classifica in tre tipi, a seconda di come si comportano i limiti laterali.

In sintesi — Tre tipi di discontinuità

1. Prima specie (salto): i limiti laterali esistono finiti ma sono diversi, $\lim_{x\to x_0^-}f(x) \ne \lim_{x\to x_0^+}f(x)$. L’ampiezza del salto è $\left|\lim^+ - \lim^-\right|$.
2. Seconda specie: almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste ($\pm\infty$ oppure oscillante).
3. Terza specie (eliminabile): il limite esiste ed è finito, $\lim_{x\to x_0}f(x) = L$, ma o $f(x_0)$ non è definito, o $f(x_0) \ne L$. Si può “eliminare” la discontinuità ridefinendo $f(x_0) = L$.

Il criterio di classificazione riguarda solo i limiti laterali: se esistono finiti ma diversi si ha un salto (prima specie); se almeno uno è infinito o inesistente si ha la seconda specie; se il limite esiste ma non coincide col valore (o il valore manca) la discontinuità è eliminabile (terza specie).

I tre tipi di discontinuità: salto (prima specie), asintoto/limite infinito (seconda specie), buco eliminabile (terza specie).

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Discontinuita · Discontinuita prima specie · Discontinuita seconda specie · Discontinuita terza specie · Limite destro e sinistro
Metodi: Continuita tipi
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi