Limite con scomposizione

Testo

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$.

Soluzione

Sostituendo $x=1$ si ottiene $0/0$. Scomponiamo con le differenze di potenze: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1), \qquad x^2-1 = (x-1)(x+1).$ Semplifichiamo il fattore comune $(x-1)$: $\frac{x^3-1}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x+1}{x+1}.$ Ora si sostituisce $x=1$: $\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{1+1+1}{1+1} = \boxed{\frac{3}{2}}.$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate
Competenze: Calcolare limiti · Scomporre
Tipo di esercizio: Calcolo limite