Funzioni equivalenti

Dai limiti notevoli si ricava una lista di approssimazioni comode. Usiamo il simbolo $\square$ per indicare qualsiasi quantità che tende a zero (può essere $x$, oppure $x^2$, oppure $\sin x$, o qualunque espressione infinitesima).

In sintesi — Lista delle funzioni equivalenti

Quando $\square\to 0$:

\sin(\square) &\sim \square \\ \cos(\square) &\sim 1 - \frac{\square^2}{2} \quad\text{(e quindi } 1-\cos(\square)\sim \square^2/2\text{)} \\ \tan(\square) &\sim \square \\ e^{\square} &\sim 1 + \square \\ (1+\square)^k &\sim 1 + k\,\square \quad\text{(anche per } k \text{ frazionario o negativo)} \\ \ln(1+\square) &\sim \square \end{aligned}$$ **Dentro $\square$ si può mettere qualsiasi quantità che tende a zero.** Per esempio, se $x\to +\infty$ si può porre $\square = 1/x$ (che tende a $0$) e scrivere $\sin(1/x)\sim 1/x$. Gli argomenti di $\sin$ e $\cos$ devono essere in radianti.

Osservazione — Quando si può sostituire e quando no

Queste sostituzioni sono lecite “dentro” un limite purché la funzione sostituita compaia al numeratore o al denominatore come fattore, non come addendo sommato ad altri termini dello stesso ordine. In quest’ultimo caso serve l’approssimazione al secondo ordine, per esempio $e^\square \sim 1+\square+\square^2/2$.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Funzioni equivalenti · Limiti notevoli
Competenze: Usare formule