Esempi di punti di accumulazione

Esempio — Insiemi tipici

• $\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}\subset\mathbb{R}$: tutti i suoi punti sono isolati; nessun reale finito è di accumulazione (solo $+\infty$, se ammettiamo punti all’infinito).
• $\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$: come sopra, tutti i punti sono isolati.
• $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$: ogni numero reale è di accumulazione di $\mathbb{Q}$ (tra due reali distinti esistono infiniti razionali).
• $D = \{1/n : n\in\mathbb{N},\ n\ge 1\}$: tutti i punti $1/n$ sono isolati; $0\notin D$ è di accumulazione.
• $D = [0,1]\cup\{3\}$: ogni punto di $[0,1]$ è di accumulazione; $3$ è isolato.
• $D = (0,1)\cup(1,2)$: ogni punto di $[0,2]$ (estremi inclusi) è di accumulazione, anche $1$ pur non appartenendo a $D$.

Questi esempi mostrano i tre comportamenti tipici: insiemi fatti solo di punti isolati (come $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$), insiemi “densi” in cui ogni reale è di accumulazione (come $\mathbb{Q}$), e insiemi con punti di accumulazione che stanno sul “bordo” ma non appartengono all’insieme.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Insiemi numerici · Punto di accumulazione · Punto isolato
Competenze: Ragionare per casi