Esercizio svolto — Limiti di successioni razionali e radici

Testo

Calcolare i limiti: $\text{(a)}\ a_n = \frac{n+1}{n^2+3}\qquad \text{(b)}\ a_n = \frac{2n^2-1}{n^2+n}$ $\text{(c)}\ a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\qquad \text{(d)}\ a_n = \frac{3^n+2^n}{3^n}$

Soluzione

(a) Il denominatore ($\text{grado }2$) cresce più in fretta del numeratore ($\text{grado }1$): $\frac{n+1}{n^2+3} = \frac{\frac1n + \frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}} \to \frac{0}{1} = \boxed{0}.$ (b) Stesso grado sopra e sotto: prevale il rapporto dei coefficienti direttori. $\frac{2n^2-1}{n^2+n} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac1n} \to \frac{2}{1} = \boxed{2}.$ (c) Forma $\infty-\infty$; si razionalizza moltiplicando per la somma: $\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to \boxed{0}.$ (d) Si separa il rapporto: $\frac{3^n+2^n}{3^n} = 1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n \to 1 + 0 = \boxed{1}$ (perché $|2/3|<1$).

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Algebra dei limiti · Forma indeterminata · Limite di successione
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite