PG e serie geometrica

Un fatto sorprendente: se la ragione ha valore assoluto minore di $1$, sommando infiniti termini di una progressione geometrica si ottiene comunque un risultato finito.

Osservazione — PG e serie geometrica

Per $|q|<1$ la PG ha addirittura una somma infinita finita: $\sum_{k=0}^{\infty}a_1\,q^k = \lim_{n\to\infty}a_1\,\frac{1-q^n}{1-q} = \frac{a_1}{1-q}.$ Questa è la serie geometrica, già incontrata in Seconda con il calcolo dell’area sotto una scala infinita di rettangoli e ripresa formalmente nell’ultima sezione di questo capitolo.

Il meccanismo è quello del limite: le somme parziali $a_1\,\frac{1-q^n}{1-q}$ formano una successione, e per $|q|<1$ il termine $q^n$ tende a $0$, lasciando il valore limite $\frac{a_1}{1-q}$.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Progressione geometrica · Serie geometrica