Teorema di Bayes

Teorema — Bayes

Siano $A$ e $B$ due eventi con $P(A), P(B) > 0$. Allora: $P(B\mid A) = \frac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}.$ Se inoltre $\{B_1,\ldots,B_n\}$ è una partizione di $\Omega$, per ciascun $B_j$: $P(B_j\mid A) = \frac{P(A\mid B_j)\cdot P(B_j)}{\sum_i P(A\mid B_i)\cdot P(B_i)}.$

Dimostrazione

Dalla formula del prodotto $P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B)$ e $P(A\cap B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$, uguagliando i membri di destra si ottiene la prima formula. La seconda è la prima con al denominatore la probabilità totale $P(A) = \sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)$. ∎

Osservazione — Intuizione di Bayes

Il teorema di Bayes permette di invertire una probabilità condizionata: da $P(A\mid B)$ a $P(B\mid A)$. È lo strumento per passare da una “causa” ($B$) a un “effetto” ($A$) e poi chiedersi, dato l’effetto, qual è la probabilità che sia stata $B$ la causa. È il cuore del ragionamento probabilistico in medicina, giustizia, diagnostica, machine learning.

Esempio — Test diagnostico, completamento

Una malattia rara affligge lo $0,1\%$ della popolazione. Un test diagnostico ha sensibilità $99\%$ ($P(T^+\mid M)=0,99$) e specificità $98\%$ ($P(T^+\mid \overline{M})=0,02$). Una persona risulta positiva al test. Qual è la probabilità che sia effettivamente malata?

Abbiamo già calcolato $P(T^+) \approx 0,02097$ (somma dei due percorsi). Bayes: $P(M\mid T^+) = \frac{P(T^+\mid M)P(M)}{P(T^+)} = \frac{0,99\cdot 0,001}{0,02097} \approx 0,0472 \approx \mathbf{4,7\%}.$ Morale: nonostante il test sia molto accurato, la probabilità a posteriori di essere malato dato un test positivo è solo del $4,7\%$. La ragione è che la malattia è così rara che i falsi positivi (persone sane con test positivo) sono molto più numerosi dei veri positivi. È la famosa “trappola della base rate” nelle interpretazioni dei test diagnostici.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Probabilita condizionata · Probabilita totale · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Prob condizionata · Prob totale
Competenze: Calcolo probabilita · Usare formule
Persone: Thomas Bayes