Studente preparato e risposta corretta

Testo

Il $40\%$ degli studenti di una classe è preparato. Uno studente preparato risponde correttamente con probabilità $1$, uno impreparato con probabilità $1/5$. Costruisci tabella di contingenza, diagramma ad albero e diagramma di Venn per gli eventi $A=$ «preparato» e $B=$ «risponde correttamente». Calcola infine $P(A\mid B)$.

Soluzione

I dati sono $P(A)=0,4$, $P(B\mid A)=1$, $P(B\mid \overline{A})=1/5=0,2$.

Tabella di contingenza (su $100$ studenti immaginari):

	risponde bene ($B$)	risponde male ($\overline{B}$)	totale
preparato ($A$)	$40$	$0$	$40$
impreparato ($\overline{A}$)	$12$	$48$	$60$
totale	$52$	$48$	$100$

Diagramma ad albero: dal primo bivio $A$ ($0,4$) / $\overline{A}$ ($0,6$); dal ramo $A$ si arriva a $B$ con probabilità $1$, dal ramo $\overline{A}$ si arriva a $B$ con probabilità $0,2$.

La probabilità totale di rispondere correttamente è $P(B) = 0,4\cdot 1 + 0,6\cdot 0,2 = 0,52.$ Per il teorema di Bayes: $P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,52} = \boxed{\dfrac{10}{13} \approx 0,77}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Tabella di contingenza · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema probabilita