Paradosso dei due figli

Esempio — Versione standard

Una famiglia ha due figli. Sai che almeno uno è un maschio. Qual è la probabilità che siano entrambi maschi?

Tentazione: $1/2$ (l’altro figlio è $50$–$50$). Sbagliato. La risposta corretta è $1/3$.

Proprietà — Lettura via spazio campione

Spazio campione (assumendo equiprobabilità $1/4$ per ogni coppia): $\{MM, MF, FM, FF\}$. L’informazione “almeno uno è maschio” esclude $FF$, lasciando tre casi equiprobabili: $\{MM, MF, FM\}$. La condizione “entrambi maschi” si realizza solo in $MM$. Dunque $P(MM \mid \text{almeno uno M}) = \frac{P(MM)}{P(\text{almeno uno M})} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}.$

Attenzione — Trappola del condizionamento

Cambia formulazione, cambia risposta. Se invece l’enunciato fosse “il primogenito è un maschio”, allora “entrambi maschi” significa solo che il secondo è maschio: $P=1/2$. L’informazione “almeno uno” è meno specifica di “il primo”, e questa differenza si traduce nella probabilità condizionata.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Paradosso dei due figli · Probabilita condizionata · Spazio campione
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi