Esempio guidato — Scuola di 1024 studenti

Esempio — Scuola di 1024 studenti: tutte e tre le rappresentazioni

In una scuola di $1024$ studenti ci sono due indirizzi (scientifico $A$, classico $\overline{A}$) e gli studenti possono praticare sport $B$ o no $\overline{B}$. Dati: $P(A)=0,4$ (scientifico), $P(B)=0,5$ (sport), $P(A\cap B)=0,1$ (scientifico e sport). Costruiamo le tre rappresentazioni passo passo.

Step 1 — Venn $\to$ Tabella. Dal Venn ricaviamo le quattro zone:

$P(A\cap B)=0,1,\qquad P(A\cap\overline{B})=0,4-0,1=0,3,$

$P(\overline{A}\cap B)=0,5-0,1=0,4,\qquad P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-0,8=0,2.$

Trasferiamo nelle celle della tabella (numeri assoluti $=$ probabilità $\times 1024$):

	$A$ (scient.)	$\overline{A}$ (class.)	Totale
$B$ (sport)	$0,1\cdot 1024 = 102$	$0,4\cdot 1024 = 410$	$512$
$\overline{B}$ (no sport)	$0,3\cdot 1024 = 307$	$0,2\cdot 1024 = 205$	$512$
Totale	$410$	$614$	$1024$

(I numeri sono arrotondati all’intero più vicino: $1024$ non è divisibile per $10$.) Le marginali sono le somme di riga e di colonna: $P(A)=410/1024\approx 0,4$, $P(B)=512/1024=0,5$.

Step 2 — Tabella $\to$ Albero. Per ottenere l’albero (condizionato su $A$) calcoliamo le frequenze condizionate “cella su totale della marginale di $A$”. Dalla tabella:

$P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{0,1}{0,4} = \tfrac{1}{4},\qquad P(\overline{B}\mid A) = \tfrac{3}{4},$

$P(B\mid \overline{A}) = \frac{0,4}{0,6} = \tfrac{2}{3},\qquad P(\overline{B}\mid \overline{A}) = \tfrac{1}{3}.$

L’albero risulta:

L’albero condizionato su $A$: sui rami le probabilità condizionate, sulle foglie in rosso i prodotti dei rami (le congiunte). Verifica: $0,1+0,3+0,4+0,2=1$ ✓.

Conclusione. I tre quadri — Venn (quattro zone), tabella ($2\times 2$ celle), albero (quattro foglie) — portano esattamente la stessa informazione: $0,1$, $0,3$, $0,4$, $0,2$. Cambia solo la prospettiva: assoluta (Venn/tabella) contro condizionata (albero).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Passaggio rappresentazioni · Probabilita condizionata · Probabilita congiunta
Metodi: Diagramma albero · Diagramma venn prob · Passaggio rappresentazioni · Tabella contingenza
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare