Esempio — Vaccino antinfluenzale

Esempio — Vaccino antinfluenzale

Giorgio deve decidere se vaccinarsi contro l’influenza. Sappiamo che il vaccino ha copertura parziale. Definiamo:

• $A$ = “Giorgio si vaccina”;
• $B$ = “Giorgio prende l’influenza”.

Dai dati statistici: $P(A) = \tfrac{1}{5}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$, e tra i vaccinati la percentuale di ammalati è $P(B\mid A) = \tfrac{1}{6}$.

Il vaccino protegge? Se $A$ e $B$ fossero indipendenti, vaccinarsi non farebbe alcuna differenza. Confrontiamo $P(B\mid A)$ con $P(B)$:

$P(B\mid A) = \tfrac{1}{6} \approx 0,167 \quad < \quad P(B) = \tfrac{1}{3} \approx 0,333.$

Vaccinarsi dimezza la probabilità di ammalarsi: gli eventi $A$ e $B$ sono correlati negativamente. Per la legge della probabilità composta:

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) = \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{30}.$

Quindi la correlazione vale:

$\operatorname{corr}(A,B) = \frac{1/30}{(1/5)(1/3)} - 1 = \frac{1/30}{1/15} - 1 = \tfrac{1}{2}-1 = \boxed{-\tfrac{1}{2}}.$

La correlazione negativa conferma l’effetto protettivo del vaccino.

Riempiamo la tabella. Con $P(A\cap B) = \tfrac{1}{30}$ deduciamo tutte le celle:

	$A$ (vaccinato)	$\overline{A}$ (non vacc.)	Totale
$B$ (influenza)	$\tfrac{1}{30}$	$\tfrac{9}{30}$	$\tfrac{10}{30}=\tfrac{1}{3}$
$\overline{B}$ (sano)	$\tfrac{5}{30}$	$\tfrac{15}{30}$	$\tfrac{20}{30}=\tfrac{2}{3}$
Totale	$\tfrac{6}{30}=\tfrac{1}{5}$	$\tfrac{24}{30}=\tfrac{4}{5}$	$1$

Da qui possiamo rispondere ad altre domande, per esempio: tra chi non si vaccina, qual è la probabilità di ammalarsi?

$P(B\mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})} = \frac{9/30}{24/30} = \boxed{\tfrac{3}{8} = 37,5\%}.$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
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