Diagramma ad albero

Il diagramma ad albero è lo strumento grafico standard per visualizzare e calcolare probabilità in esperimenti a più stadi. Convenzione fondamentale: sui rami dell’albero compaiono sempre delle probabilità condizionate, mai numeri sciolti. Più precisamente:

• al primo livello, i rami escono dalla radice e portano gli eventi del primo esperimento, con i pesi $P(A_1), P(A_2), \ldots, P(A_n)$ delle probabilità marginali (assolute);
• al secondo livello, da ciascun nodo $A_i$ si dipartono rami che portano gli eventi $B_j$ con peso $P(B_j \mid A_i)$, la probabilità condizionata di $B_j$ avendo già osservato $A_i$;
• la probabilità di una foglia è il prodotto lungo il cammino: $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)$ (questo è proprio la formula del prodotto, ora letta geometricamente sull’albero).

Albero a due livelli per un test diagnostico: al primo livello la malattia $M$/$\overline{M}$ con probabilità marginali, al secondo livello l’esito del test $T^+$/$T^-$ con probabilità condizionate; in rosso le probabilità delle foglie.

Lettura. Al primo livello si separa la popolazione in $M$/$\overline{M}$ con probabilità marginali $P(M) = 0,001$ e $P(\overline{M}) = 0,999$. Al secondo livello, per ciascun ramo, si separa in $T^+$/$T^-$ con le probabilità condizionate: $P(T^+ \mid M) = 0,99$, $P(T^+ \mid \overline{M}) = 0,02$, ecc. La probabilità di un evento “foglia” è il prodotto delle probabilità lungo il cammino: $P(M \cap T^+) = 0,001 \cdot 0,99 = 0,00099$ e $P(\overline{M} \cap T^+) = 0,999 \cdot 0,02 = 0,01998$ (in rosso a fianco delle foglie).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Formula del prodotto · Probabilita condizionata
Metodi: Diagramma albero
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare